D'autre part, tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle; et, partant, la subdivision de sa surface par des lignes rayonnant du centre est commune au cercle circonscrit. Par conséquent, les assemblages des polygones les plus complexes en apparence se ramèrent à ces deux problèmes fort simples : diviser la circonférence en un nombre de parties données, et construire un polygone régulier, le côté étant connu.

Voilà pour les éléments mis en oeuvre ; le premier essai de composition est fourni par les polygones dérivés étoilés. Ceux-ci s'obtiennent de trois manières.
1° Lorsque, dans un polygone régulier, on mène toutes les diagonales, celles-ci déterminent, en s'entrecoupant, un ou plusieurs polygones étoilés.
2° Lorsqu'on prolonge les côtés d'un polygone, l'intersection des lignes ainsi menées détermine les polygones étoilés correspondants.
3° Les polygones étoilés sont enfin déterminés par l'intersection de polygones réguliers égaux.

Un double corollaire découle de ce théorème.
1° Du sommet d'un polygone, on peut mener autant de diagonales que ce polygone a de côtés moins trois; donc, chaque polygone détermine autant de polygones étoilés qu'il a de paires de diagonales menées d'un sommet.
2" Lorsqu'un polygone régulier est divisé en un nombre quelconque de parties égales, et que chaque sommet est joint à ces points de division, l'intersection des lignes ainsi menées détermine un ou plusieurs polygones étoilés et mi-réguliers.

 A son tour, la subdivision d'un polygone donné en parties semblables est le premier pas vers l'assemblage des polygones.
Si l'on partage en effet les côtés d'un polygone quelconque, d'un triangle par exemple, en un nombre de parties égales, et que, par ces points, on mène des parallèles aux côtés, on décompose le triangle en triangles semblables; et de la sorte, le polygone se trouve couvert d'un réseau semblable ou dérivé.

Toute la loi de l'assemblage ne repose donc que sur cette seule donnée : la somme des angles déterminés autour d'un point par l'intersection de deux ou de plusieurs lignes est toujours égale à quatre angles droits.

Les assemblages primitifs des Coptes s'étaient arrêtés aux polygones d'une seule forme, triangles, carrés, losanges, parallélogrammes et hexagones : c'étaient les seuls dont la réunion donnât directement quatre angles droits.

L'angle du triangle équilatéral étant égal à 2/3 d'angle droit, la réunion de six trigones leur avait donné, sans qu'ils s'en soient doutés, l'équation : 2/3 x 6 = 4 droits. Quatre carrés leur avaient donné la même somme, l'angle du carré étant droit; de même le losange et le parallélogramme, puisque leurs angles sont complémentaires. Quant à l'hexagone, son angle vaut 4/3 d'angle droit; en en réunissant trois, ils avaient, toujours sans le savoir, l'addition suivante : 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4 droits.

En se pénétrant de cette loi, les algébristes arabes s'essayèrent à réunir des polygones de formes diverses; pour eux, ce ne fut plus qu'une question de calcul. Successivement ils se rendirent compte qu'il est possible de réunir deux octogones et un carré; puisque l'angle de l'octogone étant égal à un angle droit et demi, cet assemblage leur donnait 3/2 + 3/2 + t = 4 droits;