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elles en seront en certains cas les axes de similitude, et cette
symétrie sera directe ou inverse, selon que les figures
déterminées par leur intersection seront ou non superposables;
d'où deux effets différents qui concourront à l'effet général.
D'autre part, tout polygone régulier peut être inscrit dans un
cercle; et, partant, la subdivision de sa surface par des lignes
rayonnant du centre est commune au cercle circonscrit. Par
conséquent, les assemblages des polygones les plus complexes en
apparence se ramèrent à ces deux problèmes fort simples : diviser
la circonférence en un nombre de parties données, et construire un
polygone régulier, le côté étant connu.
Voilà pour les éléments mis en oeuvre ; le premier essai de
composition est fourni par les polygones dérivés étoilés.
Ceux-ci s'obtiennent de trois manières.
1° Lorsque, dans un polygone régulier, on mène toutes les
diagonales, celles-ci déterminent, en s'entrecoupant, un ou
plusieurs polygones étoilés.
2° Lorsqu'on prolonge les côtés d'un polygone, l'intersection des
lignes ainsi menées détermine les polygones étoilés
correspondants.
3° Les polygones étoilés sont enfin déterminés par
l'intersection de polygones réguliers égaux.
Un double corollaire découle de ce théorème.
1° Du sommet d'un polygone, on peut mener autant de diagonales que
ce polygone a de côtés moins trois; donc, chaque polygone
détermine autant de polygones étoilés qu'il a de paires de
diagonales menées d'un sommet.
2" Lorsqu'un polygone régulier est divisé en un nombre
quelconque de parties égales, et que chaque sommet est joint à ces
points de division, l'intersection des lignes ainsi menées
détermine un ou plusieurs polygones étoilés et mi-réguliers. |
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A son tour, la subdivision d'un polygone donné en parties
semblables est le premier pas vers l'assemblage des polygones.
Si l'on partage en effet les côtés d'un polygone quelconque, d'un
triangle par exemple, en un nombre de parties égales, et que, par
ces points, on mène des parallèles aux côtés, on décompose le
triangle en triangles semblables; et de la sorte, le polygone se
trouve couvert d'un réseau semblable ou dérivé.
Toute la loi de l'assemblage ne repose donc que sur cette seule
donnée : la somme des angles déterminés autour d'un point par
l'intersection de deux ou de plusieurs lignes est toujours égale à
quatre angles droits.
Les assemblages primitifs des Coptes s'étaient arrêtés aux
polygones d'une seule forme, triangles, carrés, losanges,
parallélogrammes et hexagones : c'étaient les seuls dont la
réunion donnât directement quatre angles droits.
L'angle du triangle équilatéral étant égal à 2/3 d'angle
droit, la réunion de six trigones leur avait donné, sans qu'ils
s'en soient doutés, l'équation : 2/3 x 6 = 4 droits. Quatre
carrés leur avaient donné la même somme, l'angle du carré étant
droit; de même le losange et le parallélogramme, puisque leurs
angles sont complémentaires. Quant à l'hexagone, son angle vaut
4/3 d'angle droit; en en réunissant trois, ils avaient, toujours
sans le savoir, l'addition suivante : 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4 droits.
En se pénétrant de cette loi, les algébristes arabes
s'essayèrent à réunir des polygones de formes diverses; pour eux,
ce ne fut plus qu'une question de calcul. Successivement ils se
rendirent compte qu'il est possible de réunir deux octogones et un
carré; puisque l'angle de l'octogone étant égal à un angle droit
et demi, cet assemblage leur donnait 3/2 + 3/2 + t = 4 droits; |
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